이산수학 - 9. 확률

1. 순열과 조합

2. 이항계수

3. 이산적 확률

4. 확률분포

5. 기대값과 분산

 

 

 

1. 순열과 조합

합의 법칙: 두 사건의 경우가 각각 |A|=m, |B|=n이고 A∩B=∅이면, 사건A 또는 사건B가 일어날 경우의 수는 m+n

곱의 법칙: 두 사건 A,B의 경우의 수가 |A|=m, |B|=n일 때, 사건 A와 사건 B가 동시에 일어날 경우의 수는 m*n

순열(Permutation, nPr): 서로 다른 n개의 원소 중 r개를 중복하지 않고 선택하여 순서대로 나열한 것 (n에서 n-r+1까지의 곱)

중복순열(n∏r): 서로 다른 n개의 원소 중 중복을 허용하며 r개를 선택하여 순서대로 나열한 것(n^r)

중복된 원소를 포함하는 집합에 대한 순열: n개중 같은것이 p,q...s개 있을 때, n개를 나열하는 경우의 수 (n!/p!×q!×r!×…×s!)

조합(Combination, nCr): 서로다른 n개의 원소 중 r개를 중복하지 않게 선택하여 순서에 상관없이 나열한 것. (n!/r!(n-r)!)

중복조합(nHr): 서로다른 n개의 원소 중에서 중복을 허락하여 r개를 선택해서 순서에 상관없이 나열하는 방법(n+r-1Hr)

 

 

 

 

2. 이항계수

이항정리(Binomial Theorem)

파스칼의 삼각형

• 모든 전개식의 첫번째 항과 마지막 항은 항상1
• n-1Cr-1 + r-1Cr = nCr

 

 

3. 이산적 확률

확률: 표본공간 S 중에서 특정 사건 A가 일어날 가능성

표본공간: 가능한 결과의 집합

확률의 덧셈정리: 두 사건이 동시에 일어날 경우: P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B), 두 사건이 배반사건일 경우는 그냥 더한다.

여사건: 표본공간S에서의 사건 E의 나머지 사건에 대한 확률은 P(E') = 1 - P(E) 

조건부 확률: 확률이 0이 아닌 두 사건 A,B에 대해 A가 일어났다고 가정했을때, 사건 B가 일어날 확률

베이즈 정리: P(B|A) = P(A|B)P(B)/P(A|B)P(B) + P(A|B')P(B') = P(A|B)P(B)/P(A)

사건의 독립: P(A∩B) = P(A)P(B)인 것의 필요충분조건

 

 

 

4. 확률 분포

확률 변수: 실험의 표본공간으로부터 실수의 집합으로의 함수이다. 즉, 가능한 각각의 결과에 실수를 할당한다.

• 변수 X가 취할 수 있는 모든 값이 x1,x2...xn이고 X가 이들 값을 취할 확률을 p1,p2,...pn이라고 할때, X는 확률변수

확률 분포: 확률변수 X가 취하는 값 xi와 X가 xi를 취할 확률 pi간의 대응관계 

기댓값: 확률변수 X가 취하는 값 x1,x2,...x에 대한 확률 분포가 p1,p2,...pn일 때, 다음 공식으로 구하는 평균값

E(X) = x1p1 + x2p2 + ... + xnpn

분산: 기댓값으로 부터 X가 취하는 각 값들이 얼마나 떨어져 있는지를 보여주는 값이다

V(X) = E((X-E(X))^2) 

표준편차: 분산의 음이 아닌 제곱근

D(X) = V(X)^2

 

예제) 파란공 6개, 흰공 3개가 들어있는 주머니에서 공 4개를 꺼낼 때, 파란공이 포함된 경우를 변수X라 한다. 파란공이 포함될 확률 분포와 기댓값을 구하라

 

P(X=1) = 3C3 * 6C1 / 9C4 = 1/21

P(X=2) = 3C2 * 6C2 / 9C4 = 5/14

P(X=3) = 3C1 * 6C3 / 9C4 = 10/21

P(X=4) = 3C0 * 6C4 / 9C4 = 5/42