편입학/이산수학

이산수학 - 6. 함수

HeaQ 2020. 12. 30. 23:28

1. 함수의 개념

2. 함수의 성질에 따른 분류

3. 합성함수

4. 함수의 종류

 

 

1. 함수의 개념

함수 (Function, f: A→B): 집합 A, B에 대해 집합 A에서 B로 가는 관계가 성립할 때, 집합 A의 원소 a에 대해 집합 B의 원소 b 하나가 대응되는 관계

 

대응: 집합 A,B가 있을 때, 집합 A의 원소a 에 대해 집합 B의 원소 b가 확정되는 경우 "b는 a에 대응한다"고 함.

 

관계와 함수의 차이

  • 집합 A에서 집합 B로의 관계
    • 집합 B 원소와 대응하지 않는 집합 A의 원소가 있을 수 있다.
    • 하나의 집합A 원소가 하나 이상의 집합 B 원소와 대응할 수 있음
  • 집합 A에서 집합 B로의 함수
    • 집합 A의 모든 원소는 집합 B 원소와 반드시 대응
    • 하나의 집합 A 원소는 무조건 하나의 집합 B 원소와 대응해야 함. 단 하나의 집합 B원소는 하나이상의 집합 A원소와 대응할 수 있다

예를 들어, 집합 A = {a,b,c}, 집합 B = {1,2,3,4}에서

A에서 B로 가는 관계 f1 = {(a,2), (b,1), (c,4)}의 경우 집합 A의 모든 원소는 집합 B의 원소들과 하나씩 대응하고 있으므로 함수가 된다.

A에서 B로 가는 관계 f2 = {(a,2), (a,3), (b,1), (c,1), (c,3), (c,4)}는, 집합 A의 원소중 a,c가 각각 집합 B의 원소 2개, 3개에 대응한다. 집합A의 원소 하나가 두개 이상의 집합 B의 원소와 대응하는 경우는 함수가 아니다.

 

예제) A = {x,y,z}, B = {a,b} 일때 함수인지 판별하라

{(x,a), (z,b)}: y와 대응되는 원소가 없다. (함수X)

{(x,a), (y,b), (z,b)}: A의 모든 원소가 대응된다. (함수O) 

{(x,b), (y,a), (y,b), (z,a)}: y가 B의 원소 2개를 갖는다 (함수X)

 

 

집합 A에서 B로 가는 함수 f: A→B 에서

상(Image): 집합 A의 원소 a에 대응하는 집합 B의 원소 b : f(a)

정의역(Domain): 집합 A dom(A)

공변역(Codomain): 집합 B codom(B)

치역(Range): 상의 집합: ran(f) = { f(a) | a∈A }

함수의 합과 곱

(f+g)(x) = f(x) + f(g)

(fg)(x) = f(x) * g(x)

dom(f+g) = dom(fg) = dom(f) ∩ dom(g)

 

 

 

2. 함수의 성질에 따른 분류

단사함수(One to one Function, Injection Function)

  • f:X→Y 가 있을 때 , 임의의 두 원소 x1, x2 ∈ X에 대하여 x1 ≠ x2면, f(x1) ≠ f(x2)
  • |dom(f)| ≤ |codom(f)|, |ran(f)| ≤ |codom(f)|
  • 정의역의 모든 원소들이 서로다른 공변역의 원소와 대응하는 것. (=서로 다른 상을 갖는다)
  • 정의역의 원소는 공변경의 원소보다 수가 작거나 같아야 한다. (치역도)

 

전사함수(Onto Function, Subjection Function)

  • 임의의 원소 y ∈ Y 에 대해, f(x) = y인 원소 x ∈ X 가 적어도 하나 존재하는 함수
  • |dom(f)| ≥ |codom(f)|, |ran(f)| = |codom(f)|
  • 공변역의 모든 원소들이 한개 이상의 정의역 원소들과 대응하는 것.
  • 정의역 원소의 수는 공변역 원소의 수와 같거나 많아야 하며, 치역원소는 공변역원소의 수와 같아야 한다.

전단사함수(One to one Correspondence, Bijective Function)

  • 단사함수이면서 전사함수인 함수 
  • |dom(f)| = |codom(f)|, |ran(f)| = |codom(f)|
  • 정의역, 공변역, 치역의 원소 수가 모두 같다.

출처: https://www.mathsisfun.com/sets/injective-surjective-bijective.html

 

예제) 다음 함수들이 어떤 함수인지 판별하라.

1. f1: R→R, f1(x) = 2^x

단사함수

 

2. f2: Z→Z+, f2(x) = |x|+1

x가 1일때, -1일때 모두 2를 가리킨다. 전사함수

 

3. f3: Z-→N, f3(x) = |x|

모든 음의 정수의 절대값은 자연수와 1대1 대응이다. 전단사함수

 

4. f4: Z→Z, f4(x) = x^2

공변역이 정수이지만 치역은 양의 정수이므로 전사함수는 아니다. 따라서 전단사함수도 아니다. 

음의 정수 x와 양의 정수 x는 같은 f(x)를 가리키므로 단사함수가 아니다.

어떤 함수도 아니다.

 

 

 

 

3. 합성함수

합성함수(Composition Function, g∘f) : 두 함수 f:A→B, g:B→C 가 있을 때, g∘f:A→C = g(f(x))

 

합성함수의 연산: 합성함수는 교환법칙이 성립하지 않는다. 치역과 정의역이 서로 달라지기 때문이다. 그러나 결합법칙은 성립한다. 

 

합성함수의 성질

  1. f와 g가 단사함수면 gºf 도 단사함수다
  2. f와 g가 전사함수면 gºf 도 전사함수다
  3. f와 g가 전단사함수면 gºf 도 전단사함수다
  4. gºf 가 단사함수면 f도 단사함수다
  5. gºf 가 전사함수면 g도 전사함수다
  6. gºf 가 전단사함수면, f는 단사함수고, g는 전사함수다.

 

 

4. 함수의 종류

항등함수(Identity Function, f(a) = a, I): 정의역과 공변역, 치역이 모두 같다. 완전한 1대1 대응이므로 전단사함수이다.

항등함수와 합성: 항등함수를 어떠한 함수 f와 합성해도 항상 f다. 

 

역함수: 전단사함수 f:A→B에 대해 B→A로 대응되는 관계f(a)=b 일 때, f'(b)=a

  • f(a): 가역함수(가역함수는 항상 전단사 함수이다), f'(b): 역함수  

항등함수와 역함수의 관계: f:A→B, g:B→C에 대해 다음이 성립한다.

  • f'∘f = IA 
  • f∘f' = IB
  • (g∘f)' = f' ∘ g'

상수함수: 집합 A의 모든 원소가 집합B의 원소 하나에만 대응되는 관계

특성함수: 전체집합 U에 속한 어떤 집합A에 대해 집합에 속할 경우 1, 속하지 않을 경우 0의 원소를 갖는 함수

 

바닥함수(Floor Function, 최대정수함수, ⌊x⌋): x보다 같거나 작은 정수 중 가장 큰 정수를 대응하는 함수 (n≤ x < n+1)

천정함수(Ceiling Function, 최소정수함수, ⌈x⌉): x보다 같거나 큰 정수 중 가장 작은 정수를 대응하는 함수 (n-1< x ≤ n)

 

바닥함수(좌), 천정함수(우) 출처:https://mathworld.wolfram.com

 

 

+) 편입 기출

(경북 13) 집합 A = {a,b,c,d,e}

1) 집합 A의 관계는 모두 몇개인가: 관계는 A*A의 부분집합이므로 25개이다.

2) 집합 A의 함수는 모두 몇개인가: A에서 A로의 함수로 가정하였을때 25개

3) 관계 m,n<=R 이 m+n = 짝수 일때 관계면 R은 동치관계인가: 문제가 무슨말인지 모르겠다.

4) 다음 함수가 f(a) = ((a-1)mod 5)+1 일 때, f∘f는 단사함수인가: 나머지 연산이므로 5의 나머지에 +1한 값인 1,2,3,4,5가 반복된다. 따라서 공변역의 모든 원소가 서로다른 정의역의 원소에 대응하므로 전사함수 이다.